Approximation affine

Exemple

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3\). 
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.
Soit \(a\) un réel.
La tangente \(T_a\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y=\color{red}{f'(a)}\color{green}{(x-a)}+\color{blue}{f(a)}\).

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on peut visualiser la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la tangente \(T_{a}\).

On observe qu'au voisinage du point \(\mathrm{M}\left(a\,;f(a)\right)\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la tangente \(T_{a}\) sont très proches.
Ainsi, pour \(x\) suffisamment proche de \(a\), on peut approcher \(f(x)\) par l'image de \(x\) par la fonction affine représentée par la tangente \(T_{a}\). On parle alors d'approximation affine.

Pour \(a =1\) :

• \(\color{red}{f(1)=1^3=1}\) ;
  
• pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3x^2\), donc \(\color{blue}{f'(1)=3 \times 1^2=3}\).

Donc \(T_{1} : y=\color{red}{3}\color{green}{(x-1)}+\color{blue}{1}\) soit \(y=3x-2\).
En zoomant au voisinage du point \(\mathrm{A}(1\,;f(1))\), on voit que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est presque confondue avec la tangente \(T_{1}\).

On peut obtenir assez facilement une valeur approchée de \(f(x)\) pour \(x\) suffisamment proche de \(1\).
Par exemple :

• \(f(1{,}01)\approx \color{red}{3} \times \color{green}{0{,}01}+\color{blue}{1}\) soit \(f(1{,}01)\approx1{,}03\).
  
• \(f(0{,}98)\approx\color{red}{3} \times \color{green}{(-0{,}02)}+\color{blue}{1}\) soit \(f(0{,}98) \approx0{,}94\).